考试结束后的几日，戴浩文在书房中仔细批改完了学子们的绝对值检测试卷。他的案头堆满了试卷，表情时而凝重，时而欣慰。

终于，成绩统计出来了。李华，85 分；张明，78 分；王强，65 分；赵婷，90 分……戴浩文将每个学子的成绩都一一记录下来。

待学子们都在讲堂坐定，戴浩文手持试卷，开始了详尽的讲解。

“我们先来看第一题，若 |x| = 4 ，则 x = （ ±4 ）。这是绝对值的基本定义，x 距离 0 的距离为 4，所以 x 有正负两种可能。大部分同学都答对了，但还是有个别同学粗心，只写了 4 ，忽略了 -4 。”

“第二题，计算 | - 5 | + | 3 | = （ 8 ）。这道题就是求 -5 和 3 的绝对值之和，|-5| = 5 ，|3| = 3 ，5 + 3 = 8 。做错的同学要好好反思是不是概念没掌握清楚。”

“第三题，已知 | a - 3 | = 0 ，则 a = （ 3 ）。因为绝对值为 0 时，里面的式子也为 0 ，所以 a - 3 = 0 ，得出 a = 3 。这道题错的同学要回去再好好复习一下绝对值为 0 的特殊情况。”

“第四题，若 | x + 2 | = 5 ，且 x ＜ 0 ，则 x = （ -7 ）。当 | x + 2 | = 5 时，x + 2 = ±5 ，即 x = 3 或者 x = -7 ，又因为 x ＜ 0 ，所以 x = -7 。这道题做错的同学，要注意条件的综合运用。”

“第五题，比较大小：| - 7 | （ ＜ ） | - 9 | 。因为 | - 7 | = 7 ，| - 9 | = 9 ，7 ＜ 9 ，所以 | - 7 | ＜ | - 9 | 。这道题比较简单，做错的同学要加强对绝对值大小比较的练习。”

“第六题，若 | 2x - 1 | = 3 ，求 x 的值。当 2x - 1 = 3 时，2x = 4 ，x = 2 ；当 2x - 1 = -3 时，2x = -2 ，x = -1 。同学们要记住绝对值方程有两种情况。”

“第七题，当 x 为何值时，| x - 1 | + | x - 2 | 取得最小值，最小值是多少？这道题需要分段讨论，当 x ＜ 1 时，原式 = 1 - x + 2 - x = 3 - 2x ，此时无最小值；当 1 ≤ x ≤ 2 时，原式 = x - 1 + 2 - x = 1 ，最小值为 1；当 x ＞ 2 时，原式 = x - 1 + x - 2 = 2x - 3 ，无最小值。所以当 1 ≤ x ≤ 2 时，取得最小值 1 。这道题错误率较高，大家要认真理解分段讨论的思路。”

“第八题，已知 | a | = 5 ，| b | = 2 ，且 a ＜ b ，求 a + b 的值。因为 | a | = 5 ，所以 a = ±5 ；因为 | b | = 2 ，所以 b = ±2 。又因为 a ＜ b ，所以 a = -5 ，b = 2 时，a + b = -3 ；a = -5 ，b = -2 时，a + b = -7 。这道题要考虑到绝对值的多种可能性以及大小关系的综合判断。”

“第九题，若 | x - 3 | ＜ 2 ，求 x 的取值范围。则 -2 ＜ x - 3 ＜ 2 ，解得 1 ＜ x ＜ 5 。这道题是不等式与绝对值的结合，同学们要注意不等式的运算规则。”

“第十题，解方程 | 3x + 2 | = | 2x - 1 | 。当 3x + 2 = 2x - 1 时，x = -3 ；当 3x + 2 = -(2x - 1) 时，3x + 2 = -2x + 1 ，5x = -1 ，x = -1/5 。这道题需要分情况讨论，不少同学遗漏了一种情况。”

“第十一题，若 | x + 1 | - | x - 3 | = 4 ，求 x 的取值范围。当 x ＜ -1 时，-(x + 1) - (3 - x) = -4 ，不符合；当 -1 ≤ x ＜ 3 时，x + 1 - (3 - x) = 2x - 2 ，令 2x - 2 = 4 ，解得 x = 3 ，矛盾；当 x ≥ 3 时，x + 1 - (x - 3) = 4 ，恒成立。所以 x ≥ 3 。这道题难度较大，需要大家有清晰的思路和严谨的推理。”

小主，

“第十二题，已知 | a - 1 | + | b + 2 | + | c - 3 | = 0 ，求 a、b、c 的值。因为绝对值都是非负的，要使它们的和为 0 ，则每个绝对值都为 0 ，所以 a - 1 = 0 ，b + 2 = 0 ，c - 3 = 0 ，解得 a = 1 ，b = -2 ，c = 3 。这是绝对值非负性的重要应用，做错的同学要重点复习。”

“第十三题，若关于 x 的方程 | 4x - 5 | = m 无解，求 m 的取值范围。因为绝对值总是非负的，所以当 m ＜ 0 时，方程无解。这道题考查了绝对值方程有解与无解的条件。”

“第十四题，若 | 2x - 3 | ＞ 5 ，求 x 的取值范围。则 2x - 3 ＞ 5 或 2x - 3 ＜ -5 ，解得 x ＞ 4 或 x ＜ -1 。这道题也是不等式与绝对值的综合，要注意解不等式时的方向。”

“第十五题，已知数轴上点 A 对应的数为 -2 ，点 B 对应的数为 x ，且 | x + 2 | = 7 ，求 A、B 两点间的距离。当 x + 2 = 7 时，x = 5 ，距离为 7 ；当 x + 2 = -7 时，x = -9 ，距离为 7 。这道题要结合数轴和绝对值的概念来求解。”

“第十六题，若 | x - 1 | + | x - 2 | + | x - 3 | = 6 ，求 x 的值。我们分情况讨论，当 x ＜ 1 时，1 - x + 2 - x + 3 - x = 6 - 3x = 6 ，解得 x = 0 ；当 1 ≤ x ＜ 2 时，x - 1 + 2 - x + 3 - x = 4 - x = 6 ，x = -2 ，不符合；当 2 ≤ x ＜ 3 时，x - 1 + x - 2 + 3 - x = x = 6 ，不符合；当 x ≥ 3 时，x - 1 + x - 2 + x - 3 = 3x - 6 = 6 ，解得 x = 4 。这道题需要同学们有足够的耐心和细致的计算。”

“第十七题，已知 | a | = 3 ，| b | = 5 ，且 | a + b | = - (a + b) ，求 a - b 的值。因为 | a + b | = - (a + b) ，所以 a + b ≤ 0 。又因为 | a | = 3 ，| b | = 5 ，所以 a = ±3 ，b = -5 。当 a = 3 ，b = -5 时，a - b = 8 ；当 a = -3 ，b = -5 时，a - b = 2 。这道题综合了绝对值、不等式和代数运算，有一定难度。”

“第十八题，若 0 ＜ x ＜ 3 ，化简 | x - 3 | + | x | 。因为 0 ＜ x ＜ 3 ，所以 x - 3 ＜ 0 ，则 | x - 3 | = 3 - x ，| x | = x ，所以原式 = 3 - x + x = 3 。这道题考查了绝对值的化简，要根据 x 的取值范围判断绝对值内式子的正负。”

“第十九题，若 | x - 2 | + | 2x - 1 | ＜ 3 ，求 x 的取值范围。当 x ＜ 1/2 时，2 - x + 1 - 2x ＜ 3 ，解得 0 ＜ x ＜ 1/2 ；当 1/2 ≤ x ＜ 2 时，2 - x + 2x - 1 ＜ 3 ，解得 1/2 ≤ x ＜ 2 ；当 x ≥ 2 时，x - 2 + 2x - 1 ＜ 3 ，解得 2 ≤ x ＜ 2 ，矛盾。综上，0 ＜ x ＜ 2 。这道题的分段讨论比较复杂，同学们要仔细分析。”

“第二十题，已知 | x + 1 | + | x - 2 | = 5 ，且 -2 ＜ x ＜ 3 ，求 x 的值。当 -2 ＜ x ＜ -1 时，-(x + 1) + 2 - x = 5 ，解得 x = -2 ，不符合；当 -1 ≤ x ＜ 2 时，x + 1 + 2 - x = 3 ，不符合；当 2 ≤ x ＜ 3 时，x + 1 + x - 2 = 5 ，2x = 6 ，解得 x = 3 ，不符合。所以此题在给定范围内无解。这道题需要同学们全面考虑各种情况，不能遗漏。”

讲解完所有题目后，戴浩文看着学子们，语重心长地说道：“这次检测，反映出大家对绝对值的知识有了一定的掌握，但也暴露出不少问题。有的同学基础知识不扎实，有的同学在解题时不够细心，有的同学面对复杂问题缺乏清晰的思路。希望大家通过这次检测，总结经验教训，查缺补漏，在今后的学习中更加努力。绝对值只是我们数学学习中的一小部分，未来还有更多的知识等待着我们去探索和掌握。只要大家保持勤奋和专注，就一定能够在数学的道路上不断进步。”

学子们听着戴浩文的话，若有所思，暗暗下定决心要更加努力学习数学。

第 205 章 试卷讲评与总结